Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，求的單調區間；

（2）當時，記函數，若函數至少有三個零點，求實數的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為，；單調遞減區間為；（2）

【解析】

（1）求導后，根據導函數的正負可確定函數的單調區間；

（2）求得導函數的零點后，分別在、和三種情況下，根據函數的單調性和最值確定零點的個數，進而得到的范圍.

（1）令，則當時，，

，令，解得：，

當和時，；當時，；

的單調遞增區間為，；單調遞減區間為；

（2）當時，，

令，解得：，，

①當，即時，，

此時至多有兩個零點，不合題意；

②當，即時，，此時至多有兩個零點，不合題意；

③當，即時，

（i）當時，至多有兩個零點，不合題意；

（ⅱ）當時，，，

此時恰好有個零點；

（iii）當時，，，

，

記，則，，

此時有四個零點；

綜上所述：滿足條件的實數的取值集合為.