Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知△ABC的周長為6，且a，b，c成等比數列，則△ABC面積的最大值是（　　）

• A．

  3

  2

• B．2
• C．

  3

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：根據等差數列的性質得到b²=ac，然后由余弦定理表示出cosB，并利用基本不等式求出cosB≥

1

2

，根據余弦函數的圖象得到B的范圍，同時由b=

ac

及基本不等式列出關于b的不等式，
求出不等式的解集得到b的范圍，根據三角形的兩邊之差小于第三邊列出不等式，由三角形的周長及b²=ac，得到關于b的一元二次不等式，進一步確定b的范圍，再由S=

1

2

ac•sinB
=

1

2

b²•sinB，得到S的最大值．

解答：解：依次為a，b，c，則a+b+c=6，b²=ac，c²
由余弦定理得：cosB=

a2+c 2-b 2

2ac

=

a2+c 2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，∴0＜B≤

π

3

，
又b=

ac

≤

a+c

2

=

6-b

2

，從而0＜b≤2，∵△ABC三邊依次為a，b，c，則a-c＜b，即有（a-c）²＜b²，
∵a+b+c=6，b²=ac，b²＞（a+c）²-4ac，
∴b²+3b-9＞0，b＞

-3+ 5

2

，∴

-3+ 5

2

＜b≤2，
∴S=

1

2

acsinB=

1

2

b²•sinB≤

1

2

•2²•sin

π

3

=

3

，
則S的最大值為

3

，
故選C．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有等比數列的性質，余弦定理，基本不等式，一元二次不等式的解法，三角形的面積公式，平面向量的數量積運算，以及二次函數最值的求法，其中根據余弦定理，等比數列的性質及不等式的解法得出B及b的范圍是解本題的關鍵，屬于中檔題．