Question

下列四個函數：①f（x）=x²-2x；②f（x）=sinx，0≤x≤2π；③f（x）=2^x+x；④f（x）=log₂（2x-1），x＞

1

2

．其中，能使f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]恒成立的函數的個數是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：若使f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]恒成立，則函數f（x）的導函數為增函數，求導判斷單調性即可．

解答： 解：若使f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]恒成立，
則函數f（x）的導函數為增函數，
即f′（x）在定義域上是增函數；
①∵f（x）=x²-2x，∴f′（x）=2x-2是增函數，故成立；
②∵f（x）=sinx，0≤x≤2π；∴f′（x）=cosx不是增函數，故不成立；
③∵f（x）=2^x+x，∴f′（x）=ln2•2^x+1是增函數，故成立；
④∵f（x）=log₂（2x-1），x＞

1

2

，∴f′（x）=

2

ln2•(2x-1)

在（

1

2

，+∞）上是減函數，
故不成立；
故選B．

點評：本題考查了學生對新定義的接受能力及導數的綜合應用，屬于中檔題．