Question

已知函數f（x）=1+a；g（x）=．
（I）當a=1時，求函數f（x）在（-∞，0）上的值域；
（II）若對任意x∈[0，+∞），總有|f（x）|≤3成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若m＞0（m為常數），且對任意x∈[0，1]，總有|g（x）|≤M成立，求M的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）當a=1時，f（x）=1+，根據f（x）在（-∞，0）上遞減，可求f（x）在（-∞，0）的值域；
（II）由題意知，對任意x∈[0，+∞），總有-3≤f（x）≤3成立，分離參數可得在[0，+∞）上恒成立，從而，由此可求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）先判斷g（x）在[0，1]上遞減，即，再分類討論，即可確定M的取值范圍．
解答：解：（I）當a=1時，f（x）=1+；
因為f（x）在（-∞，0）上遞減，所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域為（3，+∞）
（II）由題意知，對任意x∈[0，+∞），總有-3≤f（x）≤3成立．
∴
∴在[0，+∞）上恒成立，
∴
設2^x=t，則t≥1，設h（t）=-4t-，p（t）=2t-，
∴，p′（t）=2+
∴h（t）在[1，+∞）上遞減，p（t）在[1，+∞）上遞增
∴在[1，+∞）上，h（t）_max=h（1）=-5，p（t）_min=p（1）=1
∴實數a的取值范圍為[-5，1]；
（Ⅲ）g（x）==-1+．
∵m＞0，x∈[0，1]
∴g（x）在[0，1]上遞減
∴g（1）≤g（x）≤g（0），即
①當，即m∈（0，]時，，此時，M≥
②當，即m∈（，+∞）時，，此時，M≥
綜上所述，m∈（0，]時，M的取值范圍為；m∈（，+∞）時，M的取值范圍為．
點評：本題考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，考查分類討論的數學思想，解題的關鍵是轉化為求函數的最值．