Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（1）設(shè)．

①若函數(shù)在處的切線過(guò)點(diǎn)，求的值；

②當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，且（），求證：當(dāng)時(shí)， ．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）見解析．

【解析】試題分析：（1）由，分、討論；（2）由已知等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，則，令，導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，得證.

試題解析：（1）當(dāng)，可得，

∵，∴，

①當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，

所以只需，解得，從而．

②當(dāng)時(shí)，由，解得，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增．

所以函數(shù)在上有最小值，令，解得，所以．綜上所述， ．

（2）由題意， ，

而等價(jià)于，

令，

則，且， ，

令，則，

∵，∴，

所以導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，

從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，

∴，

即．