Question

已知θ∈（0，2π）且sinθ，cosθ是方程x²-kx+k+1=0的兩根，則k的值為

-1

．

Answer 1

分析：根據題意和韋達定理列出方程組，由平方關系化簡聯立列方程，求出k的值，最后要驗證三角函數值的范圍．

解答：解：∵sinθ，cosθ是方程x²-kx+k+1=0的兩根，
∴

sinθ+cosθ=k       ① sinθcosθ=k+1       ②

，
①平方得，1+2sinθcosθ=k²，將②代入得，
k²-2k-3=0，解得k=3或-1，
當k=3時，sinθcosθ=4，這與sinθcosθ＜1矛盾，故舍去，
當k=-1時，經驗證符合條件．
則k的值為-1，
故答案為：-1．

點評：本題考查了韋達定理（根與系數的關系），以及平方關系的靈活應用，主要驗證三角函數值的范圍．