Question

函數f（x）=log₃（a^x-1），（a＞0，且a≠1）．
（1）求該函數的定義域；
（2）若該函數的圖象經過點M（2，1），討論f（x）的單調性并證明．

Answer 1

分析：（1）當a＞1時，由a^x-1＞0，求得x的范圍，可得函數的定義域．當0＜a＜1時，由a^x-1＞0，求得x的范圍，可得函數的定義域．
（2）根據該函數的圖象經過點M（2，1），求得a=2，可得函數f（x）=log3(2x-1)，再根據函數的單調性的定義證明函數f（x）=log3(2x-1) 在
（0，+∞）上是增函數．

解答：解：（1）當a＞1時，由函數f（x）=log₃（a^x-1），可得a^x-1＞0，a^x＞1，解得x＞0，故函數的定義域為（0，+∞）．
當0＜a＜1時，由函數f（x）=log₃（a^x-1），可得a^x-1＞0，a^x＞1，解得x＜0，故函數的定義域為（-∞，0）．
（2）若該函數的圖象經過點M（2，1），則有 log₃（a²-1）=1，∴a²=4，∴a=2．
故函數f（x）=log3(2x-1)，它的定義域為（0，+∞）．
設x₂＞x₁＞0，則 f（x₂）-f（x₁）=log3(2x2-1)-log3(2x1-1)=log3

2x2-1

2x1-1

．
再由題設x₂＞x₁＞0，可得2x2-1＞2x1-1＞0，∴

2x2-1

2x1-1

＞1，∴log3

2x2-1

2x1-1

＞0，∴f（x₂）＞f（x₁），
故函數f（x）=log3(2x-1) 在（0，+∞）上是增函數．

點評：本題主要考查求函數的定義域，函數的單調性的判斷和證明，復合函數的單調性規律，屬于基礎題．