Question

根據下列條件求圓的方程：

（1）經過坐標原點和點P（1,1），并且圓心在直線2x+3y+1=0上；

（2）已知一圓過P（4,-2）、Q(-1,3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4,求圓的方程.

Answer 1

（1）（x-4）²+(y+3)²=25.（2）x²+y²-2x-12=0或x²+y²-10x-8y+4=0.

解析:

（1）顯然，所求圓的圓心在OP的垂直平分線上，OP的垂直平分線方程為：

,即x+y-1=0.

解方程組得圓心C的坐標為（4，-3）.

又圓的半徑r=|OC|=5,

所以所求圓的方程為（x-4）²+(y+3)²=25.

（2）設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0                                                                  ①

將P、Q點的坐標分別代入①得：

令x=0，由①得y²+Ey+F=0                                                                                  ④

由已知|y₁-y₂|=4，其中y₁、y₂是方程④的兩根，

所以（y₁-y₂）²=(y₁+y₂)²-4y₁y₂=E²-4F=48                                                                     ⑤

解②、③、⑤組成的方程組得

D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4，

故所求圓的方程為

x²+y²-2x-12=0或x²+y²-10x-8y+4=0.