Question

A₁，A₂分別是橢圓

x2

9

+

y2

4

=1的長軸的左、右端點，P₁、P₂是垂直于A₁A₂的弦的端點，則直線A₁P₁與A₂P₂交點的軌跡方程為

x2

9

-

y2

4

=1

．

Answer 1

分析：假設直線A₁P₁與A₂P₂交點為M．設M（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₁，-y₁），根據M、P₁、A₁三點共線，得到

y

x +3

=

y1

x1+3

，同理由M、P₂、A₂三點共線，得到

y

x -3

=

-y1

x1-3

．將兩個等式左右兩邊對應相乘，并結合橢圓方程進行化簡，即可得到直線A₁P₁與A₂P₂交點M的軌跡方程．

解答：解：根據題意，假設直線A₁P₁與A₂P₂交點為M．可得A₁（-3，0），A₂（3，0）
設M（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₁，-y₁），
∵點M在直線PA₁上，∴ kMA1= kA1P1，
可得

y -0

x +3

=

y1-0

x1+3

，即

y

x +3

=

y1

x1+3

…①
同理，由 kMA2= kA2P2得到

y

x -3

=

-y1

x1-3

…②
將①、②相乘，得

y 2

x 2-9

=

-y12

x12-9

…③
∵P₁（x₁，y₁）在橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上，
∴

x12

9

+

y12

4

=1，可得y12=4（1-

x12

9

）
代入③，得

y 2

x 2-9

=-

4(1- x12 9 )

x 12-9

=

4

9

，
化簡整理得

x2

9

-

y2

4

=1，即為直線A₁P₁與A₂P₂交點M的軌跡方程
故答案為：

x2

9

-

y2

4

=1

點評：本題給出橢圓長軸的左、右端點A₁、A₂，垂直于長軸的弦為P₁P₂，求直線A₁P₁與A₂P₂交點M的軌跡方程．著重考查了橢圓的標準方程、簡單幾何性質和軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．