Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長AB=6，側棱長，它的外接球的球心為O，點E是AB的中點，點P是球O的球面上任意一點，有以下判斷，
（1）PE長的最大值是9；（2）三棱錐P-EBC的最大值是；（3）存在過點E的平面，截球O的截面面積是3π；（4）三棱錐P-AEC₁體積的最大值是20．
正確的是    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出球的半徑，然后求PE的長+半徑；
（2）P到平面EBC的距離+半徑就是P到平面EBC的距離最大值；
（3）求出截球O的截面面積是3π，可以判斷（3）的正確性
（4）三棱錐P-AEC₁體積的表達式，再求最大值；判斷（4）的正確性．
解答：解：由題意可知球心在體對角線的中點，直徑為：
半徑是5，（1）PE長的最大值是：5+=9，正確；
（2）P到平面EBC的距離最大值是5+=5+，錯誤；
（3）球的大圓面積是25π，過E與球心連線垂直的平面是小圓，面積為9π，因而（3）是錯誤的．
（4）三棱錐P-AEC₁體積的最大值是V==（h最大是半徑）正確．
故答案為：（1）（4）
點評：本題考查棱柱的結構特征，點、到線、到面的距離，體積問題，外接體問題，是中檔題．