Question

若△ABC中，∠B=

2π

3

，△ABC的面積為

15 3

4

，其外接圓半徑為

7 3

3

，則△ABC的周長為

15

．

Answer 1

分析：根據正弦定理，由B和外接圓半徑R的值即可求出b的值，根據三角形的面積公式表示出△ABC的面積，得到a與c的關系式，記作①，利用余弦定理表示出cosB，把①代入也得到關于a與c的關系式，記作②，①②聯立利用完全平方公式化簡后即可求出a+c的值，進而求出三角形BAC的周長．

解答：解：由正弦定理得：

b

sinB

=2R，又∠B=

2π

3

，R=

7 3

3

，
解得b=sinB•2R=7，
∵△ABC的面積為

15 3

4

，
∴

1

2

acsinB=

15 3

4

，解得ac=15①，
則cosB=-

1

2

=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-49

30

，化簡得：a²+c²=34②，
聯立①②得：（a+c）²=a²+c²+2ac=34+30=64，
解得a+c=8，
則△ABC的周長為7+8=15．
故答案為15

點評：此題考查學生靈活應用正弦、余弦定理化簡求值，掌握完全平方公式的靈活運用，靈活運用三角形的面積公式及同角三角函數間的基本關系化簡求值，是一道中檔題．