Question

已知單位向量

a

，

b

的夾角為

π

3

，且

AB

=2

a

+k

b

，

BC

=

a

+

b

，

CD

=

a

-2

b

；
（1）若A，B，D三點共線，求k的值；
（2）是否存在k使得點A、B、D構成直角三角形，若存在，求出k的值，若不存在，說明理由；
（3）若△ABC中角B為鈍角，求k的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據向量共線的充要條件，可得A，B，D三點共線，則

AB

=λ

BD

，構造方程可求出k的值；
（2）根據兩個向量垂直，向量積為0，分別討論△ABD中，角B為直角，角A為直角和角D為直角時，關于k的方程是否有解，最后綜合討論結果，可得是否存在k使得點A、B、D構成直角三角形．
（3）若△ABC中角B為鈍角，可得

AB

，

BC

夾角為銳角，即

AB

•

BC

＞0，解出k值后，除去讓

AB

，

BC

共線時的k值，可得答案．

解答：解：（1）∵

AB

=2

a

+k

b

，

BC

=

a

+

b

，

CD

=

a

-2

b

；
∴

BD

=

BC

+

CD

=2

a

-

b

；
∵A，B，D三點共線，
∴

AB

=λ

BD

即2

a

+k

b

=λ（2

a

-

b

）
即

2=2λ k=-λ

解得k=-1
（2）∵單位向量

a

，

b

的夾角為

π

3

，
∴

a

2=1，

b

2=1，

a

•

b

=

1

2

在△ABD中，
若角B為直角，則

AB

•

BD

=（2

a

+k

b

）•（2

a

-

b

）=0，此時方程無解；
若角A為直角，則

AB

•

AD

=

AB

•（

AB

+

BD

）=（2

a

+k

b

）•[4

a

+（k-1）

b

]=0，即k²+2k+7=0此時方程無解；
若角D為直角，則

BD

•

AD

=

BD

•（

AB

+

BD

）=（2

a

-

b

）•[4

a

+（k-1）

b

]=0，此時方程無解；
綜上點A、B、D不能構成直角三角形，
（3）若△ABC中角B為鈍角，則

AB

，

BC

夾角為銳角，
∴

AB

•

BC

=（2

a

+k

b

）•（

a

+

b

）=3+

3

2

k＞0，解得k＞-2
又∵k＞2時，

AB

，

BC

同向，夾角為0°
故k的范圍為（-2，2）∪（2，+∞）

點評：本題考查的知識點是向量平行，向量垂直，向量的夾角，熟練掌握向量平等、垂直、夾角公式是解答的關鍵，其中（3）易忽略兩向量共線時的情況，而錯解為（-2，+∞）