Question

在四棱錐中，底面是矩形，已知，，，，。

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的正切值的大小。（12分）

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）.

【解析】第一問中，利用線面垂直的判定定理求證。在中，由題設PA=2，AD=2，

PD=，可得，于是

在矩形ABCD中，，又

，從而得到結論。

第二問中，過點P作于H，過點H作于E，

連接PE，又因為平面PAB，平面PAB，所以，

又，因而平面ABCD，

故HE為PE在平面ABCD內的射影，，從而得到二面角的平面角是二面角P-BD-A的平面角，然后借助于三角形求解得到。

解：（I）在中，由題設PA=2，AD=2，

     PD=，可得，

于是，……….2分，

在矩形ABCD中，，又….4分，

  所以平面PAB。……….6分，

（II）如圖所示，過點P作于H，過點H作于E，

連接PE，……….7分，

因為平面PAB，平面PAB，所以，

又，因而平面ABCD，

故HE為PE在平面ABCD內的射影，，……….8分，

從而是二面角P-BD-A的平面角。……….9分，

由題設可得，，

，……….10分，

由～得

，于是在中，

，….11分，

所以二面角P—BD—A 的正切值的大小為。………….12分