Question

已知函數
（Ⅰ）若在上為增函數，求實數的取值范圍；
（Ⅱ）當時，方程有實根，求實數的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）0．

解析試題分析：（Ⅰ）函數在上為增函數，則它的導函數在上恒成立，于是問題轉化為不等式恒成立問題，這類問題若方便分離參數一般分離參數，若不方便分離參數，則可從函數自身的單調性解決，但往往會涉及分類討論，較為麻煩，根據題目特點，本題需要采用第二種方法；（Ⅱ）這是一個由方程有解求參數取值范圍（或最值）的問題，這類問題若方便分離參一般可分離參數，轉化為求函數的值域問題，若不方便分離參數，則根據函數類型，采用數形結合方法解答，本題適合于第一種方法，但本題分離參數后，若直接求的最值，則較為困難，比較巧妙的做法是，將問題轉化為求的最值.
試題解析：（I）因為函數在上為增函數，所以
在上恒成立
?當時，在上恒成立，
所以在上為增函數，故 符合題意
?當時，由函數的定義域可知，必須有對恒成立，故只能，所以在上恒成立
令函數，其對稱軸為，因為，所以，要使在上恒成立，只要即可，
即，所以因為，所以.綜上所述，的取值范圍為 
（Ⅱ）當時，可化為，
問題轉化為在上有解，
即求函數的值域，
令，，
所以當時，，在上為增函數，當時，，在上為減函數，因此，
而，所以，即當時，取得最大值0.
考點：函數的單調性、函數與方程的綜合問題.