Question

(本題滿分15分) 如圖，橢圓C: x ²＋3 y ²＝3b²  (b＞0).

(Ⅰ) 求橢圓C的離心率；

(Ⅱ) 若b＝1，A，B是橢圓C上兩點，且 | AB | ＝，求△AOB面積的最大值.

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)解：由x²＋3y²＝3b²  得 ，

所以e＝＝＝＝．                     

(Ⅱ)解：設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，△ABO的面積為S．

如果AB⊥x軸，由對稱性不妨記A的坐標為(，)，此時S＝＝；

如果AB不垂直于x軸，設直線AB的方程為y＝kx＋m，

由 得x²＋3(kx＋m) ²＝3，

即 (1＋3k²)x²＋6kmx＋3m²－3＝0，又Δ＝36k²m²－4(1＋3k²) (3m²－3)＞0，

所以  x₁＋x₂＝－，x₁ x₂＝，

(x₁－x₂)²＝(x₁＋x₂)²－4 x₁ x₂＝，   ①

由 | AB |＝及 | AB |＝得

(x₁－x₂)²＝，                           ②

結合①，②得m²＝(1＋3k²)－．又原點O到直線AB的距離為，

所以S＝，

因此 S²＝＝[－]＝[－(－2)²＋１]

＝－(－2)²＋≤，

故S≤．當且僅當＝2，即k＝±1時上式取等號．又＞，故S _max＝．

                                                  

【解析】略