Question

已知圓O：x²+y²=4，AB為圓O的任意一條直徑，P（1，3），Q（-1，0），則當PA+AB+BQ最小時，直徑AB所在的直線方程為

y=

3

x

．

Answer 1

分析：設點R（1，0）、點A（x，y），則點B（-x，-y），PA+BQ+AB=

(x-1)2+(y-3)2

+

(x-1)2+y2

+4．
數形結合可得當點A是PR與圓的交點時，PA+BQ=

(x-1)2+(y-3)2

+

(x-1)2+y2

最小，即PA+AB+BQ最小，
此時，點A（1，

3

），求得AB的斜率，用點斜式求得AB的方程．

解答：解：∵已知圓O：x²+y²=4，AB為圓O的任意一條直徑，P（1，3），Q（-1，0），
設點R（1，0）、點A（x，y），
則點B（-x，-y），PA+AB+BQ=

(x-1)2+(y-3)2

+4+

(-x+1)2+y2

=

(x-1)2+(y-3)2

+

(x-1)2+y2

+4=PA+AR+4．
由于

(x-1)2+(y-3)2

表示圓上的點A（x，y）到點P（1，3）的距離，
而 

(x-1)2+y2

 表示圓上的點A（x，y）到點R（1，0）的距離，
故當點A是PR與圓的交點時，PA+AR=

(x-1)2+(y-3)2

+

(x-1)2+y2

 最小，
即PA+AB+BQ最小，此時，點A（1，

3

），故AB的斜率為

3 -0

1-0

=

3

，
故直線AB的方程為 y=

3

x，
故答案為 y=

3

x．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，兩點間的距離公式的應用，用點斜式求直線的方程，屬于基礎題．