Question

已知函數f(x)=

(x2+ax+a)

ex

，（a為常數，e為自然對數的底）．
（1）令μ(x)=

1

ex

，a=0，求μ'（x）和f'（x）；
（2）若函數f（x）在x=0時取得極小值，試確定a的取值范圍；
[理]（3）在（2）的條件下，設由f（x）的極大值構成的函數為g（x），試判斷曲線g（x）只可能與直線2x-3y+m=0、3x-2y+n=0（m，n為確定的常數）中的哪一條相切，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據導數的公式和法則求出兩個函數的導數．
（2）對函數求導，使得導函數等于0，解出結果，看出函數的單調性，得到函數的極值，討論在x=0處取得極值點條件，得到結果．
（3）根據導數寫出函數的極大值點組成的函數，對函數求導得到函數的單調性，得到當x＜2時，h（x）＜h（2）=（3-2）e^2-2=1，即恒有g'（x）＜1，得到結論．

解答：解：（1）μ′(x)=-

1

ex

，f′(x)=

(2x-x2)

ex

（2）f'（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]
=e^-x•（-x）•[x-（2-a）]，令f'（x）=0，得x=0或x=2-a，
當a=2時，f'（x）=-x²e^-x≤0恒成立，此時f（x）單調遞減；
當a＜2時，2-a＞0，若x＜0，則f'（x）＜0，若0＜x＜2-a，
則f'（x）＞0，x=0是函數f（x）的極小值點；（4分）
當a＞2時，2-a＜0，若x＞0，則f'（x）＜0，若2-a＜x＜0，則f'（x）＞0，
此時x=0是函數f（x）的極大值點，
綜上所述，使函數f（x）在x=0時取得極小值的a的取值范圍是a＜2
[理]（3）由（1）知a＜2，且當x＞2-a時，f'（x）＜0，
因此x=2-a是f（x）的極大值點，f_max（x）=f（2-a）=（4-a）e^a-2，
于是g（x）=（4-x）e^x-2（x＜2）（8分）
g'（x）=-e^x-2+e^x-2（4-x）=（3-x）e^x-2，
令h（x）=（3-x）e^x-2（x＜2），
則h'（x）=（2-x）e^x-2＞0恒成立，即h（x）在（-∞，2）是增函數，
所以當x＜2時，h（x）＜h（2）=（3-2）e^2-2=1，即恒有g'（x）＜1，
又直線2x-3y+m=0的斜率為

2

3

，直線3x-2y+n=0的斜率為

3

2

，
所以由導數的幾何意義知曲線g（x）只可能與直線2x-3y+m=0相切

點評：本題考查導數的運算和應用，注意函數的極值點的求法，解題的關鍵是利用函數的極大值點組成一個函數，解題的過程比較繁瑣，注意數字的運算．