Question

已知關于x的不等式x²-2（m+1）x+4m＞0．
（1）求該不等式的解集；
（2）若對于?x∈[-1，1]上述不等式恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法,函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由因式分解的方法可化不等式為：（x-1）（x+m）＞0，對應方程兩根為1和-m，下面由分類討論的方法可得解集．
（2）由x²-2（m+1）x+4m＞0利用變量分離的方法得m＞

-x2+2x

4-2x

=

x

2

，進而求解

解答： 解：（1）解：原不等式可化為：（x-2）（x-2m）＞0，
對應方程的兩根為2，2m，
當2m=2時，不等式即為：（x-2）²＞0，可得解集為：{x|x≠2}；
當2m＞2時，即m＞1時，不等式的解集為：{x|x＜2，或x＞2m}；
當2m＜2時，不等式的解集為：{x|x＜2m，或x＞2}．
（2）∵x²-2（m+1）x+4m＞0，x∈[-1，1]，
∴m＞

-x2+2x

4-2x

=

x

2

，
又x∈[-1，1]，
∴m＞

1

2

．

點評：本題主要考查了函數恒成立問題的求解，解題的關鍵是打破定勢思維，（習慣上總是把x當作函數的自變量），把函數看做關于m的一次函數，從而容易求解．