Question

已知如圖是函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分圖象．
（1）求函數解析式；
（2）當x∈R時，求該函數圖象的對稱軸方程和對稱中心坐標；
（3）當x∈R時，寫出f（x）的單調增區間；
（4）當x∈R時，求使f（x）≥1 成立的x 的取值集合；
（5）當x∈[，]，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖可得A=2，由T=π可求得ω=2，由又=可求得φ；
（2）由2x+=kπ+可求其對稱軸方程，由2x+=kπ可求其對稱中心坐標；
（3）由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z可得f（x）的單調增區間；
（4）由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可求使f（x）≥1 成立的x 的取值集合；
（5）x∈[，]，2x+∈[，]，從而可求求f（x）的值域．
解答：解：（1）由圖象可得：A=2，（1分）
T=2（-）=π=，
∴ω=2（3分）
又=，
∴φ=（5分）
所以f（x）=2sin（2x+）（6分）
（2）由2x+=kπ+，k∈Z得其對稱軸方程為：x=+，k∈Z；對稱中心坐標為：（-，）；
（3）由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z得：（8分）
kπ-≤x≤kπ+，k∈Z（9分）
所以f（x）的增區間是[kπ-，kπ+]，（k∈Z）（10分）
（4）由f（x）≥1得2sin（2x+）≥1，
∴sin（2x+）≥，
所以，2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
解得：kπ≤x≤kπ+，k∈Z，
∴f（x）≥1 成立的x 的取值集合為{x|kπ≤x≤kπ+，k∈Z}（12分）
（5）∵x∈[，]，
∴2x+∈[，]．
當2x+=，即x=時，f（x）取得最大值2；
當2x+=，即x=時，f（x）取得最小值-1，故f（x）的值域為[-1，2]．
點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數的單調性，對稱性，定義域與最值，屬于三角的綜合應用，是難題．