Question

某公司準備在門前建造一個長軸為20米，短軸長為16米的橢圓形噴水池．在長軸上的M₁、M₂處設計兩個噴水頭，使噴出的水花形成有相等半徑的⊙M₁與⊙M₂，且⊙M₁與⊙M₂外切，兩圓均與橢圓內切．試確定點M₁與M₂的位置及其半徑．

Answer 1

分析：以⊙M₁與⊙M₂的切點為原點，M₁、M₂所在的線為x軸建立平面直角坐標系．依題意可知圓的方程，設出圓2的方程，聯立消去y，根據位置與橢圓相切可知判別式等于0求得r，

解答：解：以⊙M₁與⊙M₂的切點為原點，M₁、M₂所在的線
為x軸建立平面直角坐標系．
則橢圓的方程為

x2

100

+

y2

64

=1，設⊙M₂的方程為（x-r）²+y²=r²．
由

(x-r)2+y2=r2 x2 100 + y2 64 =1

，得9x²-50rx+1600=0．而⊙M₂內切于橢圓，
∴△=（-50r）²-4×9×1600=0，解得r=4.8．
答：點M₁在長軸中點向左4.8米處，點M₂在長軸中點向右4.8米處．其半徑均為4.8米．

點評：本題主要考查了橢圓的應用．考查了學生數形結合的思想和解決實際問題的能力．