Question

（文科）已知數列{a_n}的前n項的和為S_n，點P（n，S_n）（n∈N）在函數f（x）=-x²+7x的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式及S_n的最大值；
（2）令bn=

2an

(n∈N*)，求數列{nb_n}的前n項的和；
（3）設cn=

1

(7-an)(9-an)

，數列{c_n}的前n項的和為R_n，求使不等式Rn＞

k

57

對一切n∈N^*都成立的最大正整數k的值．

Answer 1

分析：（1）由于點P（n，S_n）（n∈N）在函數f（x）=-x²+7x的圖象上．可得S_n．利用當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，當n=1時，a₁=S₁，即可得出a_n．再利用二次函數的單調性即可得出S_n的最值；
（2）利用“錯位相減法”即可得出；
（3）利用“裂項求和”得出R_n，求出其最小值即可．

解答：解：（1）∵點P（n，S_n）（n∈N）在函數f（x）=-x²+7x的圖象上．
∴Sn=-n2+7n，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-2n+8
當n=1時，a₁=S₁=6滿足上式，
∴a_n=-2n+8．
又Sn=-n2+7n=-(n-

7

2

)2+

49

4

，且n∈N^*
∴當n=3或4時，S_n取得最大值12．
（2）由題意知bn=

2-2n+8

=24-n
∴數列{nb_n}的前n項的和為Tn=1×23+2×22+…+(n-1)×2-n+5+n×2-n+4
∴

1

2

Tn=1×22+2×2+…+(n-1)×2-n+4+n×2-n+3，
相減得

1

2

Tn=23+22+…+2-n+4-n×2-n+3，
∴Tn=

16[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n×24-n=32-(n+2)×24-n(n∈N*)．
（3）由（1）得cn=

1

(7-an)(9-an)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Rn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)
易知R_n在n∈N^*上單調遞增，∴R_n的最小值為R1=

1

3

不等式Rn＞

k

57

對一切n∈N^*都成立，則

1

3

＞

k

57

，即k＜19．
所以最大正整數k的值為18．

點評：本題考查了利用“當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，當n=1時，a₁=S₁”得出a_n、二次函數的單調性、“錯位相減法”、“裂項求和”、恒成立問題等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．