Question

某汽車銷售公司為促銷采取了較為靈活的付款方式,對購買10萬元一輛的轎車在一年內將款全部付清的前提下,可以選擇以下兩種分期付款的方案購車:

方案一:分3次付清,購買后4個月第1次付款,再過4個月第2次付款,再過4個月第3次付款.

方案二:分12次付清,購買后1個月第1次付款,再過1個月第2次付款,…,購買后12個月第12次付款.

規定分期付款中每期付款額相同,月利率為0.8%,每月利息按復利計算,即指上月利息要計入下月的本金.

(1)試比較以上兩種方案的哪一種方案付款總額較少?

(2)若汽車銷售公司將收回的售車款進行再投資,可獲月增長2%的收益,為此對一次性付款給予降價p%的優惠,為保證一次性付款經一年后的本金低于方案一和方案二中較少一種的付款總額,且售車款再投資一年后的本金要高于車價款一年的本金,試確定p的取值范圍.

(注:計算結果保留三位有效數字,參考數據:1.008³≈1.024,1.008⁴≈1.033,1.008¹¹≈1.092,1.008¹²≈1.1,1.02¹¹≈1.243,1.02¹²≈1.268)

Answer 1

解:(1)對于方案一,設每次付款額為x₁萬元,那么一年后,第一次付款的本金為1.008⁸x₁萬元,第2次付款的本金為1.008⁴x₁萬元,第3次付款的本金為x₁萬元,則1.008⁸x₁+1.008⁴x₁+x₁=10×1.008¹².

    解得x₁≈3.63(萬元).

    付款總額為3×3.63=10.89(萬元).

    對方案二,設每次付款為x₂萬元,那一年后,

    第一次付款的本金為1.008¹¹x₂萬元,第2次付款的本金為1.008¹⁰x₂萬元,…,第12次付款的本金為x₂萬元.

    則1.008¹¹x₂+1.008¹⁰x₂+…+1.008x₂+x₂=10×1.008¹².

    解得x₂≈0.88(萬元),

    付款總額為12×0.88=10.56(萬元).

    顯然,第二種方案付款總額較少.

    (2)如果降低p%的售車款為10(1-p%),那么一年后產生的本金為10(1-p%)×1.008¹²,而轉入再投資所產生的本金為10(1-p%)(1+2%)¹²,

    則依題意有

    解得4＜p＜13.2.

講評:復利計算是一種等比數列的模型,本題兩種方案的復利計算公比不同,運算要求也很高.本題雖然主要考查的是數列知識,但綜合程度很大,和不等式、二項式定理的計算融合在一起,難度就隨之增大了.