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由動點P引圓x2+y2=10的兩條切線PA,PB,直線PA、PB的斜率分別為k1、k2
(1)若k1+k2+k1k2=-1,求動點P的軌跡;
(2)若點P在x+y=m上,且PA⊥PB,求實數m的取值范圍.

解:(1)設P(x0、y0),
則|x0|,且x02+y02≠10,切線l:y-y0=k(x-x0).
由l與圓相切,得
化簡整理得(x02-10)k2-2x0y0k+y02-10=0.
由韋達定理及k1+k2+k1k2=-1,得,化簡得x0+y0=±2
即P點的軌跡方程為x+y±2=0.
(2)因為,點P(x0、y0)在x+y=m上,所以y0=m-x0.又PA⊥PB,
所以,k1k2=-1,即,將y0=m-x0代入化簡得2x02-2mx0+m2-20=0.
由△≥0,得.經檢驗,m的取值范圍為
分析:(1)設出點P的坐標,待定系數法給出切線的方程,與圓的方程聯立,消元得到關于k的一元二次方程,然后用根與系數的關系即可得到k1+k2與k1k2代入k1+k2+k1k2=-1即可得到點P的坐標滿足的軌跡方程.、
(2)點P(x0、y0)在x+y=m上,所以y0=m-x0.又PA⊥PB,所以,k1k2=-1由上題的結論知再將y0=m-x0代入即得關于m的方程,此方程有根,故可有判別式求出實數m的取值范圍.
點評:本題考查直線與圓的位置關系,求解第一問的關鍵是得到關于兩個斜率的一元二次方程,從而得到點P的坐標滿足的方程,第二問解題的關鍵是得到關于參數m的方程,通過所得的方程有解得到參數m的不等式解出其范圍,本題考查了轉化化歸的思想,做題時要注意此類思想的使用.
練習冊系列答案
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(Ⅱ)求切線長|PA|的最小值;
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