Question

由動點P引圓x²+y²=10的兩條切線PA，PB，直線PA、PB的斜率分別為k₁、k₂．
（1）若k₁+k₂+k₁k₂=-1，求動點P的軌跡；
（2）若點P在x+y=m上，且PA⊥PB，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）設(shè)P（x₀、y₀），
則|x₀|≠

10

，且x₀²+y₀²≠10，切線l：y-y₀=k（x-x₀）．
由l與圓相切，得

|kx0-y0|

k2+1

=

10

．
化簡整理得（x₀²-10）k²-2x₀y₀k+y₀²-10=0．
由韋達定理及k₁+k₂+k₁k₂=-1，得

2x0y0

x 20 -10

+

y 20 -10

x 20 -10

=-1，化簡得x₀+y₀=±2

5

．
即P點的軌跡方程為x+y±2

5

=0．
（2）因為，點P（x₀、y₀）在x+y=m上，所以y₀=m-x₀．又PA⊥PB，
所以，k₁k₂=-1，即

y 20 -10

x 20 -10

=-1，將y₀=m-x₀代入化簡得2x₀²-2mx₀+m²-20=0．
由△≥0，得-2

10

≤m≤2

10

．經(jīng)檢驗，m的取值范圍為[-2

10

，2

10

]．