Question

已知點(diǎn)A，B是雙曲線x2-

y2

2

=1上的兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若

OA

•

OB

=0，則點(diǎn)O到直線AB的距離為

2

．

Answer 1

分析：利用向量的垂直與坐標(biāo)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式及直線與圓錐曲線相交問題的解題模式即可得出．

解答：解：設(shè)直線AB的方程為my=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

OA

•

OB

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵my₁=x₁+t，my₂=x₂+t，∴x₁x₂=（my₁-t）（my₂-t）=m2y1y2-mt(y1+y2)+t2=0，
∴(m2+1)y1y2-mt(y1+y2)+t2=0．（*）
聯(lián)立

my=x+t x2- y2 2 =1

，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程：2（my-t）²-y²=2，
化為（2m²-1）y²-4mty+2t²-2=0（2m²-1≠0）．
∵直線BA與此雙曲線有兩個不同的交點(diǎn)，∴△＞0．
由根與系數(shù)的關(guān)系得y₁+y₂=

4mt

2m2-1

，y₁y₂=

2t2-2

2m2-1

，代入（*）得

(m2+1)(2t2-2)

2m2-1

-

4m2t2

2m2-1

+t2=0，
化為t²=2（m²+1）．
∴點(diǎn)O到直線AB的距離d=

|t|

m2+1

=

2

．
故答案為

2

．

點(diǎn)評：熟練掌握向量的垂直與坐標(biāo)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式及直線與圓錐曲線相交問題的解題模式是解題的關(guān)鍵．