Question

已知點A，B是雙曲線x2-

y2

2

=1上的兩點，O為原點，若

OA

•

OB

=0，則點O到直線AB的距離為______．

Answer 1

設直線AB的方程為my=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

OA

•

OB

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵my₁=x₁+t，my₂=x₂+t，∴x₁x₂=（my₁-t）（my₂-t）=m2y1y2-mt(y1+y2)+t2=0，
∴(m2+1)y1y2-mt(y1+y2)+t2=0．（*）
聯立

my=x+t x2- y2 2 =1

，消去x得到關于y的一元二次方程：2（my-t）²-y²=2，
化為（2m²-1）y²-4mty+2t²-2=0（2m²-1≠0）．
∵直線BA與此雙曲線有兩個不同的交點，∴△＞0．
由根與系數的關系得y₁+y₂=

4mt

2m2-1

，y₁y₂=

2t2-2

2m2-1

，代入（*）得

(m2+1)(2t2-2)

2m2-1

-

4m2t2

2m2-1

+t2=0，
化為t²=2（m²+1）．
∴點O到直線AB的距離d=

|t|

m2+1

=

2

．
故答案為

2

．