Question

已知

cos2x

2 cos(x+ π 4 )

=

1

5

，0＜x＜π，則tanx為（　�。�

• A．-

  4

  3

• B．-

  3

  4

• C．2
• D．-2

Answer 1

分析：將已知等式左邊分子利用二倍角的余弦函數公式化簡，分母利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，整理后約分得到cosx+sinx=

1

5

，再將此等式左右兩邊平方，利用同角三角函數間的基本關系化簡，求出2sinxcosx的值小于0，由x的范圍得到sinx大于0，cosx小于0，再利用完全平方公式及同角三角函數間的基本關系求出cosx-sinx的值，與sinx+cosx的值聯立組成方程組，求出方程組的解得到sinx與cosx的值，進而確定出tanx的值．

解答：解：∵

cos2x

2 cos(x+ π 4 )

=

cos2x-sin2x

cosx-sinx

=cosx+sinx=

1

5

①，
∴（cosx+sinx）²=

1

25

，即sin²x+2sinxcosx+cos²x=1+2sinxcosx=

1

25

，
∴2sinxcosx=-

24

25

＜0，又0＜x＜π，
∴sinx＞0，cosx＜0，
∴（cosx-sinx）²=sin²x-2sinxcosx+cos²x=1-2sinxcosx=

49

25

，
∴cosx-sinx=-

7

5

②，
聯立①②解得：cosx=-

3

5

，sinx=

4

5

，
則tanx=-

4

3

．
故選A

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式是解本題的關鍵．