Question

已知命題p：?x∈[1，12]，x²-a≥0．命題q：?x₀∈R，使得x+（a-1）x₀+1＜0．
（1）若p或q為真，p且q為假，求實數a的取值范圍．
（2）實數m分別取什么值時，復數z=m+1+（m-1）i是 ①實數？②虛數？③純虛數？

Answer 1

解：（1）∵?x∈[1，12]，x²-a≥0恒成立，即a≤x²恒成立，
∴a≤1．即p：a≤1，∴p：a＞1．…（3分）
又?x₀∈R，使得x+（a-1）x₀+1＜0．
∴△=（a-1）²-4＞0，∴a＞3或a＜-1，…（6分）
即q：a＞3或a＜-1，∴q：-1≤a≤3．
又p或q為真，p且q為假，∴p真q假或p假q真． …（8分）
當p真q假時，{a|a≤1}∩{a|-1≤a≤3}={a|-1≤a≤1}．…（10分）
當p假q真時，{a|a＞1}∩{a|a＜-1或a＞3}={a|a＞3}． …（12分）
綜上所述，a的取值范圍為{a|-1≤a≤1}∪{a|a＞3}． …（14分）
（2）①由m-1=0，得：m=1時，z為實數．
②由m-1≠0，得：m≠1時，z為虛數．
③由m-1≠0，m+1=0，得：m=-1時，z為純虛數．
分析：（1）根據題意得命題p、q有且僅有一個為真命題，分別討論“p真q假”與“p假q真”即可得出實數a的取值范圍．
（2）①按照復數的虛部為0，復數是實數解答；②復數的虛部不為0即可解答；③復數的實部為0且虛部不為0，即可解答．
點評：本題考查了命題真假的判斷與應用，屬于中檔題，解題時注意分類討論思想的應用．