Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c經過點（0，0），導數f′（x）=2x+1，當x∈[n，n+1]（n∈N^*）時，f（x）是整數的個數記為a_n．
（1）求a、b、c的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）令b_n=

2

anan+1

，求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）先根據f（0）=0求得c，進而對函數f（x）的解析式求導，進而求得b和a．
（2）先根據題意可知a_n=（n+1）（n+2）-n（n+1）+1進而求得 a_n+1兩式相減可推斷數列{a_n}是等差數列，進而根據等差數列的通項公式求得答案．
（3）把（2）中求得的a_n代入b_n，進而利用裂項法求和．

解答：解：（1）∵f（0）=c=0
∴c=0，
f′（x）=2ax+b=2x+1
∴a=1，b=1
（2）依題意可知a_n=（n+1）（n+2）-n（n+1）+1=2（n+1）+1，a_n+1=（n+2）（n+3）-（n+1）（n+2）+1=2（n+2）+1，
∴a（n+1）-an=2，a₁=5
∴數列{a_n}是以5為首項，2為公差的等差數列，
∴a_n=5+（n-1）×2=2n+3
（3）b_n=

2

anan+1

=

1

2n+3

-

1

2n+5

，{bn}的前n項和 S_n=

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

2n+3

--

1

2n+5

=

1

5

--

1

2n+5

=

2n

5(2n+5)

點評：本題主要考查了等差數列的性質和用裂項法數列求和．高考中數列題往往與不等式、函數等知識綜合考查，所以平時應加強這方面的復習．