Question

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若C=60°，且3ab=25-c²，則△ABC的面積最大值為

25

16

3

．

Answer 1

分析：根據余弦定理結合C=60°，算出c²=a²+b²-ab，結合題中的等式得a²+b²-ab=25-3ab，整理得（a+b）²=25，解出a+b=5．由基本不等式，得當且僅當a=b=

5

2

時ab的最大值為

25

4

，由此結合正弦定理的面積公式，即可算出△ABC的面積的最大值．

解答：解：∵△ABC中，C=60°，∴c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab
又∵3ab=25-c²，得c²=25-3ab
∴a²+b²-ab=25-3ab，移項得（a+b）²=25，可得a+b=5
∵△ABC的面積S=

1

2

absinC=

3

4

ab，且ab≤(

a+b

2

)2=

25

4

∴當且僅當a=b=

5

2

時，ab的最大值為

25

4

，此時△ABC的面積的最大值為

25

16

3

故答案為：

25

16

3

點評：本題給出三角形ABC的角C和邊之間的關系式，求三角形面積的最大值．著重考查了用基本不等式求最值、三角形的面積公式和余弦定理等知識，屬于中檔題．