Question

9．已知函數f（x）=$\frac{{a{x^2}+2}}{x+b}$是奇函數，且f（2）=5．
（1）確定函數f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在（0，1）上的單調性．

Answer 1

分析 （1）根據題意，由函數的奇偶性的性質可得$\frac{{a{（-x）^2}+2}}{（-x）+b}$=-$\frac{{a{x^2}+2}}{x+b}$，分析可得b=0，又由f（2）=5，則有$\frac{4a+2}{2}$=5，解可得a=2，將a、b的值代入可得f（x）的解析式；
（2）根據題意，設任意的實數x₁、x₂，且0＜x₁＜x₂＜1，用作差法計算可得f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）-$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）[$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$]，由x₁與x₂的范圍分析可得f（x₁）-f（x₂）＞0，即可得f（x₁）＞f（x₂），由函數的單調性的性質分析f（x）的單調性．

解答 解：（1）根據題意，函數f（x）=$\frac{{a{x^2}+2}}{x+b}$是奇函數，
則f（-x）=-f（x），
即有$\frac{{a{（-x）^2}+2}}{（-x）+b}$=-$\frac{{a{x^2}+2}}{x+b}$，
即b=0，
又由f（2）=5，則有$\frac{4a+2}{2}$=5，解可得a=2，
故f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2}{x}$，
（2）根據題意，設任意的實數x₁、x₂，且0＜x₁＜x₂＜1，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）-$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）[$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$]，
又由0＜x₁＜x₂＜1，
則x₁-x₂＜0，x₁•x₂＜1，
故f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）[$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$]＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在（0，1）上是減函數．

點評 本題考查函數奇偶性的性質以及函數單調性的判定，關鍵是充分利用函數的奇偶性的性質分析得到a、b的值．