Question

設(shè)f(x)的定義域為(0,+∞),f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且對任意正數(shù)x均有f′(x)＞,

(Ⅰ)求證：F(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù)；

(Ⅱ)設(shè)x₁,x₂∈(0,+∞),比較f(x₁)+f(x₂)與f(x₁+x₂)的大小，并證明你的結(jié)論；

(Ⅲ)設(shè)x₁,x₂,…x_n∈(0,+∞),若n≥2,比較f(x₁)+f(x₂)+…f(x_n)與f(x₁+x₂+…+x_n)的大小，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解析：(Ⅰ)F′(x)=,∵f′(x)＞,x＞0,

∴xf′(x)＞f(x),∴F′(x)＞0,∴F(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

(Ⅱ)∵0＜x₁＜x₁+x₂,∴F(x₁)＜F(x₁+x₂).

    即＜,∴(x₁+x₂)f(x₁)＜x₁f(x₁+x₂).

    同理(x₁+x₂)f(x₂)＜x₂f(x₁+x₂),

∴f(x₁)+f(x₂)＜f(x₁+x₂).

(Ⅲ)當n=2時，f(x₁)+f(x₂)＜f(x₁+x₂)成立,

    假設(shè)當n=k時，f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_k)＜f(x₁+x₂+…+x_k)成立.

    那么f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_k)+f(x_k+1)＜f(x₁+x₂+…+x_k)+f(x_k+1)＜f(x₁+x₂+…+x_k+1)成立.

∴當n=k+1時也成立，

    當n≥2時,

∴f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_n)＜f(x₁+x₂+…+x_n).