Question

如圖，直線相交于點P．直線l₁與x軸交于點P₁，過點P₁作x軸的垂線交直線l₂于點Q₁，過點Q₁作y軸的垂線交直線l₁于點P₂，過點P₂作x軸的垂線交直線l₂于點Q₂，…，這樣一直作下去，可得到一系列點P₁、Q₁、P₂、Q₂，…，點P_n（n=1，2，…）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{x_n}．
（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）求數(shù)列{x_n}的通項公式；
（Ⅲ）比較2|PP_n|²與4k²|PP₁|²+5的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意及各點的產(chǎn)生情況直線l₁與x軸交于點P₁，過點P₁作x軸的垂線交直線l₂于點Q₁，過點Q₁作y軸的垂線交直線l₁于點P₂，過點P₂作x軸的垂線交直線l₂于點Q₂，…，這樣一直作下去，可得到一系列點P₁、Q₁、P₂、Q₂，…，點P_n（n=1，2，…）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{x_n}，讀懂它即可得證；
（II）因為已知的直線l₁方程且知直線l₁與x軸交于點P₁，可以求出點P₁，在有（I）的證明結(jié)論可以得到數(shù)列{x_n}的遞推關(guān)系利用構(gòu)造法求出其通項；
（III）先由題意得到點P的坐標(biāo)為（1，1），在有兩點間的距離的公式得2|PP_n|²的式子，有式子與4k²|PP₁|²+5比較大�。�
解答：解：（Ⅰ）證明：設(shè)點P_n的坐標(biāo)是（x_n，y_n），由已知條件得
點Q_n、P_n+1的坐標(biāo)分別是：．
由P_n+1在直線l₁上，得．
所以，即．
（Ⅱ）由題設(shè)知，又由（Ⅰ）知，
所以數(shù)列{x_n-1}是首項為x₁-1，公比為的等比數(shù)列．
從而．
（Ⅲ）解：由得到點P的坐標(biāo)為（1，1），
所以，．
（i）當(dāng)時，4k²|PP₁|²+5＞1+9=10．
而此時．
（ii）當(dāng)時，4k²|PP₁|²+5＜1+9=10．
而此時．
點評：此題重點考查了對于題意的準(zhǔn)確理解，還考查了兩點間的距離公式及構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，此外還考查了比較含字母的式子的大小分類討論的思想．