Question

已知x＞0，y＞0，且xy-（x+4y）=21，若xy≥m-2恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：x＞0，y＞0，且xy-（x+4y）=21，利用基本不等式的性質(zhì)可得xy=（x+4y）+21≥21+2

4xy

．解得

xy

≥7．由于xy≥m-2恒成立，可得m≤（xy+2）_min即可得出．

解答： 解：∵x＞0，y＞0，且xy-（x+4y）=21，
∴xy=（x+4y）+21≥21+2

4xy

，當(dāng)且僅當(dāng)x=4y=12時(shí)取等號(hào)．
化為(

xy

)2-4

xy

-21≥0，
因式分解為(

xy

-7)(

xy

+3)≥0．
解得

xy

≥7，
∴xy≥49．
∵xy≥m-2恒成立，
∴m≤（xy+2）_min=51．
故答案為：51．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．