Question

如圖，△ABC中，，一個邊長2的正方形由位置Ⅰ沿AB邊平行移動到位置Ⅱ，若移動的距離為x，正方形和三角形的公共部分的面積為f（x）．
（1）求f（x）的解析式；（2）在坐標系中畫出函數y=f（x）的草圖；
（3）根據圖象，指出函數y=f（x）的最大值和單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）將一個邊長為2的正方形由位置Ⅰ沿AB平行移動到位置Ⅱ停止，若移動的距離為x，此時正方形和△ABC的公共部分分為三種情況，然后分別求出公共部分的面積為f（x）；
（2）根據分段函數的作圖方法進行作圖；
（3）根據函數圖象可得函數的最大值和函數的單調區間．
解答：解：（1）當x∈[0，2]時，正方形和△ABC的公共部分是等腰直角三角形
∴f（x）=
當x∈（2，4]時，正方形和△ABC的公共部分是兩個直角梯形
f（x）=4-
當x∈（4，6]時，正方形和△ABC的公共部分是等腰直角三角形
f（x）=
綜上所述：
即；
（2）分段畫出圖象

（3）根據圖象可知當x=3時，函數值最大為3；
單調增區間為[0，3]，單調減區間為[3，6]．
點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及分段函數的最值及其幾何意義和函數圖象的作法，屬于中檔題．