Question

(本小題滿分14分)

若函數 (a，b∈R)，且其導函數f′ (x)的圖象過原點．

(Ⅰ)當a=1時，求函數f(x)的圖象在x=3處的切線方程；

(Ⅱ)若存在x<0使得f′ (x)=－9，求實數a的最大值．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 3x－y－8=0. (Ⅱ) a的最大值為．

【解析】第一問，根據導函數圖象過原點得b=0,然后就可以求出切線方程；第二問分離出參數a利用基本不等式可以得到a的最大值或者根據一元二次方程根的分布求出a的最大值。

解：，f′ (x)=x²－(a+1)x+b，         ……1分

由f′ (0)=0得 b=0，f′ (x)=x(x－a－1).                                ……3分

(Ⅰ)當a=1時, ，f′ (x)=x(x－2)，f(3)=1，f′ (3)=3.    ……5分

所以函數f(x)的圖像在x=3處的切線方程為y－1=3(x－3)，             ……6分

即3x－y－8=0.                                                   ……7分

(Ⅱ)存在，使x<0得f′ (x)=x(x－a－1)=－9，

，a≤－7，       ……10分

當且僅當x=－3時，a=－7．                                       ……12分

所以a的最大值為－7．                                           ……14分

 (Ⅱ)另解：由題意“存在x<0，使得f′ (x)=x(x－a－1)=－9”有

方程x²－(a+1)x+9=0有負數根．                                   ……8分

又因為兩根之積等于9>0，所以兩根均為負數．                     ……10分

則                                    ……12分

解得a≤－7，                                                   ……13分

所以a的最大值為．                                          ……14分