Question

（2013•德州一模）數列{a_n}是公差不小0的等差數列a₁、a₃，是函數f（x）=1n（x²-6x+6）的零點，數列{b_n}的前n項和為T_n，且T_n=1-2b_n（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=a_nb_n，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知，a₁、a₃，是令f（x）=0即x²-6x+6=1的兩根，求出a₁、a₃，易求數列{a_n}的通項公式，T_n=1-2b_n，令n=1得T₁=1-2b₁，解得b₁=

1

3

，當n≥2時，b_n=T_n-T_n-1=2b_n-1-2b_n，數列{b_n}是等比數列，利用公式求出數列{b_n}的通項公式．
（2）由（1）得c_n=a_nb_n=（2n-1）•

1

3

•(

2

3

)n-1=

2n-1

3

•(

2

3

)n-1，利用錯位相消法求和即可．

解答：解：（1）令f（x）=0得x²-6x+6=1，解得x=1或5，由于d＞0，所以a₁=1，a₃=5，2d=4，d=2，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）
由于T_n=1-2b_n，令n=1得T₁=1-2b₁，解得b₁=

1

3

，當n≥2時，b_n=T_n-T_n-1=2b_n-1-2b_n，∴b_n=

2

3

b_n-1，
∴數列{b_n}是等比數列，b_n=

1

3

•(

2

3

)n-1（n∈N^*）；
（2）由（1）得c_n=a_nb_n=（2n-1）•

1

3

•(

2

3

)n-1=

2n-1

3

•(

2

3

)n-1
S_n=

1

3

[1•(

2

3

)0+3•(

2

3

)1+5•(

2

3

)2+…+(2n-1)•(

2

3

)n-1]

2

3

S_n=

1

3

[1•(

2

3

)1+3•(

2

3

)2+5•(

2

3

)3+…+(2n-1)•(

2

3

)n]
兩式相減得

1

3

Sn=

1

3

+

2

3

[(

2

3

)1+(

2

3

)2+(

2

3

)3+…+(

2

3

)n-1]-

2n-1

3

•(

2

3

)n，
∴S_n=5-（2n+5）(

2

3

)n（n∈N^*）．

點評：本題考查數列通項公式的求法，考查數列前n項和的求法，要熟練掌握數列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列．