Question

在□ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠DAB=60°，點M為AB的中點，點P在BC與CD上運動（包括端點），則

AP

•

DM

的取值范圍是

[-

1

2

，1]

．

Answer 1

分析：先設

AB

=

a

，

AD

=

b

，則|

a

|=2，|

b

| =1，

a

•

b

=1，然后討論點P在BC上時與點P在CD上時

AP

•

DM

的取值范圍，從而求出所求．

解答：解：設

AB

=

a

，

AD

=

b

，則|

a

|=2，|

b

| =1，

a

•

b

=1
當點P在BC上時，設

BP

=λ

b

，λ∈[0，1]

AP

•

DM

=（

a

+λ

b

）（

1

2

a

-

b

）=2-λ+

1

2

λ-1=1-

λ

2

∈[

1

2

，1]
當點P在CD上時，設

DP

=λ

a

，λ∈[0，1]

AP

•

DM

=（λ

a

+

b

）（

1

2

a

-

b

）=2λ-1+

1

2

-λ=λ-

1

2

∈[-

1

2

，

1

2

]
∴點P在BC與CD上運動（包括端點），則

AP

•

DM

的取值范圍是[-

1

2

，1]
故答案為：[-

1

2

，1]

點評：本題主要考查了平面向量數量積的運算，以及共線向量的表示，屬于中檔題．