Question

在ABCD中，已知AB=CD=a,AD=BC=2a,∠A=60°,AC∩BD=E，將其沿對角線BD折成直二面角(如圖).

(1)證明AB⊥平面BCD；

(2)證明平面ACD⊥平面ABD；

(3)求二面角ACEB的大小.

Answer 1

解析：(1)證明：在△ABD中，由AB=a,AD=2a,∠A=60°,可得∠ABD=90°.?

又二面角A-BD-C為直二面角,AB面ABD，面ABD∩面BCD=DB,∴AB⊥平面BCD.?

(2)證明：由(1)知AB⊥平面BCD，CD平面BCD，?

∴AB⊥CD.?

同樣，仿(1)可證明CD⊥BD.?

而AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD.?

而CD平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.?

(3)由(1)可得AB⊥平面BCD，過點B作BF⊥CE于F,連結AF，則由三垂線定理可得AF⊥CE.?

∴∠AFB即為二面角A-CE-B的平面角.?

由條件可得BF=.?

在△BFA中，tan∠BAF=.?

故二面角A-CE-B的大小為arctan.