Question

在平面直角坐標系中，點A（1，0）、B（-1，0），已知|CA|=2

2

，BC的垂直平分線l交AC于D，當點C動點時，D點的軌跡圖形設為E．
（1）求E的標準方程；
（2）點P為E上一動點，點O為坐標原點，設|PA|²=1+λ|PO|²，求λ的最大值．

Answer 1

分析：（1）．設D（x，y），結合圖象由垂直平分線的性質結合橢圓的定義知，點E的軌跡是橢圓，由定義求出參數，得出標準方程；
（2）設P(x，y)x∈[-

2

，

2

]，得出PO²=x²+y²，PA²=（x-1）²+y²，整理表示出λ，建立關于此參數的函數關系式，根據所得的形式討論最值求λ的最大值

解答：解：（1）．設D（x，y）
∵l是BC的垂直平分線，
∴|DB|=|DC|
∴|DB|+|DA|=|AC|=2

2

＞2=|AB|
∴D點的軌跡圖形E是A，B為焦點的橢圓 （3分）
其中2a=2

2

，c=1，
∴a=

2

，b²=a²-c²=1    （5分）
∴D點的軌跡圖形E：

x2

2

+y2=1   （7分）
（2）設P(x，y)x∈[-

2

，

2

]，
則PO²=x²+y²，（8分）
PA²=（x-1）²+y²    （9分）
λ=

PA2-1

PO2

=

(x-1)2+y2-1

x2+y2

=

x2-2X+y2

x2+y2

=1-

2X

x2+y2

   （10分）
點P（x，y）滿足

x2

2

+y2=1，∴y2=1-

x2

2

，（11分）
λ=1-

2x

x2 2 +1

=1-

4X

x2+2

  （12分）
當x≥0時，λ≤1
當x＜0時，設t=-x，則t∈（0，

2

]，λ=1+

4t

t2+2

=1+

4

t+ 2 t

 （13分）
因為t+

2

t

≥2

2

，所以λ≤1+

2

，
當且僅當t=

2

時，即x=-

2

時，λ取得最大值1+

2

． （14分）

點評：本題考查橢圓的性質，解題的關鍵是熟練掌握橢圓的定義，求了橢圓的方程，第二問中求參數的最值的問題要注意函數思想的使用，一般求最值的題都可以把要求的最值表示成相應的函數，利用所得的函數解析式求參數的最值．本題運算量大，符號運算極易出錯，做題時要認真，嚴謹，避免因為運算出錯，導致解題失敗．本題考查了變形的能力，推理的能力以及運算能力，數形結合的技巧．