Question

如圖，已知M是函數y=4-x²（1＜x＜2）的圖象C上一點，過M點作曲線C的切線與x軸、y軸分別交于點A，B，O是坐標原點，求△AOB面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：因為M是函數y=4-x²（1＜x＜2）的圖象C上一點，設出M的坐標，利用y′求出過M點曲線C的切線斜率k并寫出切線方程，就能得到A和B兩點的坐標，根據得出三角形的面積與m的函數關系式S，令S′=0求出穩(wěn)定點，在0＜m＜2區(qū)間內分區(qū)間討論函數的增減性，最后求出S的最小值即可．
解答：解：∵y=4-x²
∴y'=-2x．
設M（m，4-m²），則過M點曲線C的切線斜率k=-2m．
∴切線方程y-（4-m²）=-2m（x-m）． 由x=0，得y=4+m²，B（0，4+m²）．由y=0設△AOB的面積為S，則
∴
令
當上為減函數；
當上為增函數；
∴
點評：本題考查曲線切線方程的寫法以及導數為零時函數的穩(wěn)定點判斷函數的增減性，在閉區(qū)間利用導數求最值的方法．