Question

已知二元一次不等式組

x+y-4≥0 x-y-2≤0 x-3y+4≥0

所表示的平面區域為M，若M與圓（x-4）²+（y-1）²=a（a＞0）至少有兩個公共點，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、(

  1

  2

  ，5)
• B、(1，

  5

  2

  )
• C、(

  1

  2

  ，5]
• D、(

  1

  2

  ，

  5

  2

  ]

Answer 1

分析：先畫出二元一次不等式組

x+y-4≥0 x-y-2≤0 x-3y+4≥0

所表示的平面區域為M，不等式組圍成的平面區域是一個三角形，分別考慮臨界位置求出相應的半徑，從而求出a的取值范圍．

解答：解：先畫出二元一次不等式組

x+y-4≥0 x-y-2≤0 x-3y+4≥0

所表示的平面區域為M，
當圓（x-4）²+（y-1）²=a（a＞0）與AB相切時只有一個交點
此時圓的半徑為r=

|1|

2

=

2

2

=

a

∴a=

1

2

當圓（x-4）²+（y-1）²=a（a＞0）過點B（5，3）與點C（2，2）時卻好有兩個交點
此時圓的半徑為r=

5

=

a

∴a=5
∴M與圓（x-4）²+（y-1）²=a（a＞0）至少有兩個公共點，則實數a的取值范圍是(

1

2

，5]
故選C．

點評：考查學生會根據二元一次不等式組得到一個平面區域，會根據條件求圓的方程．學生做題時應注意利用數形結合的思想解決數學問題，解決本題的關鍵是找出臨界位置．