Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-x²+ax+b的圖象在點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x-2．
（1）求實數a，b的值；
（2）設h（x）=f（x）-6x（x∈R），求函數h（x）的極大值和極小值；
（3）設f（x）=f（x）+

m

x-1

是[2，+∞）上的增函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數的幾何意義求出切線的斜率，點斜式求得切線方程，和已知的切線方程比較系數可得a、b值．
（2）求出 h′（x），利用h′（x）研究h（x）的單調性，由單調性求出h（x）的極值．
（3）化簡k（x）=f（x）+

m

x-1

的解析式，由題意得x≥2時，導數k′（x）≥0 恒成立，即x≥2時，m≤（x²-2x+3）（x-1）² 恒成立，故m 小于或等于（x²-2x+3 ）（x-1）² 的最小值3．

解答：解：（1）∵f（0）=b，∴點P （0，b）．∵f′（x）=x²-2x+a，
∴函數f（x）的圖象在點P處的切線斜率為 a，故此處的切線方程為  y-b=a （x-0），
即 y=ax+b．又已知此處的切線方程為y=3x-2，∴a=3，b=-2．
（2）∵h（x）=f（x）-6x=

1

3

x³-x²+ax+b-6x=

1

3

x³-x² -3x-2，
∴h′（x）=x²-2x-3，令 h′（x）=0，得 x=-1，或 x=3．
在x=-1的左側，h′（x）＞0，在x=-1的右側，h′（x）＜0，故h（x）在x=-1處取極大值為-

1

3

．
在x=3 的左側，h′（x）＜0，在x=3的右側，h′（x）＞0，故h（x）在x=-1處取極小值為-11．
（3）∵k（x）=f（x）+

m

x-1

=

1

3

x³-x²+3x-2+

m

x-1

，k′（x）=x2-2x +3 - 

m

(x-1)2

．
由題意得，k′（x）在[2，+∞）上 大于或等于0，即 x≥2時，x2-2x +3 -

m

(x-1)2

≥0 恒成立，
即 m≤（x²-2x+3 ）（x-1）² 恒成立．
∵（x²-2x+3 ）（x-1）² 在[2，+∞）上是單調增函數，故x≥2時（x²-2x+3 ）（x-1）² 的最小值為3，
∴m≤3．

點評：本題考查導數的幾何意義，利用導數研究函數的單調性和極值，求出x≥2時（x²-2x+3 ）（x-1）² 的最小值是
解題的難點．