Question

已知函數f(x)=px-

p

x

-2lnx．
（1）若p=2．求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數f（x）在其定義域內為增函數，求正實數p的取值范圍；
（3）若?x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞2成立，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當p=2時，寫出f（x）的解析式，求導數，利用導數的幾何意義得到曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率，從而曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（2）先求導數f′（x），要使f（x）在其定義域（0，+∞）內為單調增函數，只需f′（x）≥0，再利用二次函數恒成立的條件得出正實數p的取值范圍；
（3）設h（x）=px²-2x+p．先對參數p進行分類討論：①當p＜0時，當p=0時，它在[1，e]上也是減函數，f（x）的最大值=f（1）=0＜2不合題意．②當0＜p＜1時，當p=1時，f（x）在[1，e]上是增函數，此時也不合題意．③當p≥1時，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數，利用f（x）的最大值得出p（e-

1

e

）＞4，解得p的取值范圍．

解答：解：（1）當p=2時，f（x）=2x-

2

x

-2lnx，f（1）=2-2-2ln1=0，f′（x）=2+

2

x2

-

2

x

，
曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f′（1）=2+2-2=2，
從而曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1）即y=2x-2．
（2）由 f（x）=px-

p

x

-2lnx，得f′（x）=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

要使f（x）在其定義域（0，+∞）內為單調增函數，只需f′（x）≥0，
即px²-2x+p≥0在（0，+∞）內恒成立，…（5分）
∵px²-2x+p在（0，+∞）內的最小值為p-

1

p

，
故只須p-

1

p

≥0，
從而p≥1．…（7分）
（3）①當p＜0時，h（x）=px²-2x+p，它在[1，e]上是減函數，
當p=0時，h（x）=-2x，此時，它在[1，e]上也是減函數，
故當p≤0，在[1，e]上是減函數，∴f（x）的最大值=f（1）=0＜2不合題意．
②當0＜p＜1時，由x∈[1，e]，⇒x-

1

x

≥0，
∴f（x）=p（x-

1

x

）-2lnx≤x-

1

x

-2lnx，由（2）知，當p=1時，f（x）在[1，e]上是增函數，
∴x-

1

x

-2lnx≤e-

1

e

-2lne=e-

1

e

-2＜2不合題意．
③當p≥1時，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數，
f（x）的最大值=f（e）=p（e-

1

e

）-2lne＞2，
即p（e-

1

e

）＞4，解得p＞

4e

e2-1

．
故p的取值范圍是（

4e

e2-1

，+∞）．

點評：本題考查函數的單調性與導數的關系的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．