Question

在△ABC中，AB=2

5

，AC=3，sinC=2sinA．
（1）求△ABC的面積S；
（2）求cos(2A+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理列出關系式，將已知AB，AC，以及sinC=2sinA代入求出BC的長，再利用余弦定理表示出cosA，將三邊長代入求出cosA的值，進而確定出sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出S；
（2）利用二倍角的正弦、余弦函數公式求出sin2A與cos2A的值，所求式子利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：（1）∵AB=2

5

，AC=3，sinC=2sinA，
∴由正弦定理

AB

sinC

=

BC

sinA

得：BC=

ABsinA

sinC

=

5

，
∴由余弦定理得：cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

2 5

5

，
∵A為三角形的內角，∴sinA=

5

5

，
則S=

1

2

AB•AC•sinA=

1

2

×2

5

×3×

5

5

=3；
（2）由（1）得：sin2A=2sinAcosA=

4

5

，cos2A=cos²A-sin²A=

3

5

，
則cos（2A+

π

4

）=

2

2

（cos2A-sin2A）=-

2

10

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及二倍角的正弦、余弦函數公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．