Question

【題目】直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，且∠BAD=60°，A1A=AB，E為BB1延長線上的一點，D1E⊥面D1AC．設AB=2．

（1）求二面角E﹣AC﹣D1的大小；
（2）在D1E上是否存在一點P，使A1P∥面EAC？若存在，求D1P：PE的值；不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設AC與BD交于O，

如圖以O為原點，OA，OB，為x軸，y軸，過O作面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，

則A（ ，0，0），B（0，1，0），C（﹣ ，0，0），D（0，﹣1，0），D1（0，﹣1，2），

設E（0，1，2+h），

則 =（0，2，h）， =（2 ，0，0）， =（ ），

∵D1E⊥平面D1AC，∴D1E⊥AC，D1E⊥D1A，

∴2﹣2h=0，∴h=1，即E（0，1，3），

∴ =（0，2，1）， =（﹣ ，1，3），

設平面EAC的法向量為 =（x，y，z），

則由 ，令z=﹣1，得 =（0，3，﹣1），

∵D1E⊥面D1AC，∴平面D1AC的法向量為 =（0，2，1），

∴cos＜ ＞= = = ，

∴二面角E﹣AC﹣D1的大小為45°．

（2）解：設 = =λ（ ），

得 = =（0， ， ），

∴ = + =（﹣ ，﹣1，0）+（0， ， ）=（﹣ ， ， ），

∵A1P∥面EAC，∴ ⊥ ，

∴﹣ =0，

解得 ，

∴存在點P使A1P∥面EAC，此時D1P：PE=2：3．

【解析】（1）設AC與BD交于O，以O為原點，OA，OB，為x軸，y軸，過O作面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣D1的大小．（2）設 = =λ（ ），得 =（0， ， ）， =（﹣ ， ， ），由此能求出存在點P使A1P∥面EAC，此時D1P：PE=2：3．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能得出正確答案．