Question

如圖，△ABC 為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE=CA=2BD，N 是EA 的中點，求證：
（1）DE=DA；
（2）平面BDN⊥平面ECA；
（3）平面DEA⊥平面ECA．

Answer 1

【答案】分析：對于（1）可以通過作輔助線，取CE中點F，CA中點M，連接DF，由CE=CA=2BD，容易證明Rt△DEF≌Rt△ABD；
對于（2），由EC⊥平面ABC，容易得到BM⊥CE，又M為正三角形ABC邊CA的中點，故BM⊥AC，容易得到BM⊥平面ECA，從而得證；
對于（3），由于N是EA的中點，容易得到DN∥BM，而BM⊥平面ECA，從而得證．
解答：證明：（1）如圖，取EC中點F，連接DF．
∵EC⊥平面ABC，BD∥CE，得DB⊥平面ABC．
∴DB⊥AB，EC⊥BC．
∵BD∥CE，BD=CE=FC，則四邊形FCBD是矩形，
∴DF⊥EC．
又BA=BC=DF，
∴Rt△DEF≌Rt△ABD，所以DE=DA．
（2）取AC中點M，連接MN、MB，∵N是EA的中點，
∴MN=EC．由BD=EC，且BD⊥平面ABC，可得四邊形
MNBD是矩形，于是DN∥BM．
∵DE=DA，N是EA的中點，∴DN⊥EA．又EA∩MN=M，
∴DN⊥平面ECA，而DN?平面BDN，則平面ECA⊥平面BDN．
（3）∵DN⊥平面ECA，DN?平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA．
點評：本題考查空間中線段相等問題及平面與平面垂直的問題，線段相等要轉化為平面內三角形全等問題解決；面面垂直轉化為線面垂直解決，同時注意使用線面垂直的判定定理及性質定理．