Question

如圖，P是正四面體V-ABC的面VBC上一點，點P到平面ABC距離與到點V的距離相等，則動點P的軌跡是（　　）

• A．直線
• B．拋物線
• C．離心率為

  2 2

  3

  的橢圓
• D．離心率為3的雙曲線

Answer 1

分析：由題設條件將點P到平面ABC距離與到點V的距離相等轉化成在面VBC中點P到V的距離與到定直線BC的距離比是一個常數，依據圓錐曲線的第二定義判斷出其軌跡的形狀．

解答：解：∵正四面體V-ABC∴面VBC不垂直面ABC，過P作PD⊥面ABC于D，過D作DH⊥BC于H，連接PH，
可得BC⊥面DPH，所以BC⊥PH，故∠PHD為二面角V-BC-A的平面角令其為θ
則Rt△PGH中，|PD|：|PH|=sinθ（θ為V-BC-A的二面角的大小）．
又點P到平面ABC距離與到點V的距離相等，即|PV|=|PD|
∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC中，點P到定點V的距離與定直線BC的距離之比是一個常數sinθ，
又在正四面體V-ABC，V-BC-A的二面角的大小θ有：sinθ=

2 2

3

＜1，
由橢圓定義知P點軌跡為橢圓在面SBC內的一部分．
故選C．

點評：考查二面角、橢圓的定義、軌跡方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．