Question

如圖，P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐，D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點，截面DEF∥底面ABC，且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等。（棱長和是指多面體中所有棱的長度之和）

（1）證明：P-ABC為正四面體；
（2）若PD=PA，求二面角D-BC-A的大小；（結果用反三角函數值表示）
（3）設棱臺DEF-ABC的體積為V，是否存在體積為V且各棱長均相等的直平行六面體，使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和？若存在，請具體構造出這樣的一個直平行六面體，并給出證明；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等， ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF 又∵截面DEF∥底面ABC， ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°， ∴P-ABC是正四面體。
（2）取BC的中點M，連接PM，DM，AM ∵BC⊥PM，BC⊥AM， ∴BC⊥平面PAM，BC⊥DM， 則∠DMA為二面角D-BC-A的平面角 由（1）知，P-ABC的各棱長均為1， ∴PM=AM=，由D是PA的中點，得 sin∠DMA=， ∴∠DMA=arcsin。
（3）存在滿足條件的直平行六面體 棱臺DEF-ABC的棱長和為定值6，體積為V 設直平行六面體的棱長均為，底面相鄰兩邊夾角為α， 則該六面體棱長和為6，體積為sinα=V ∵正四面體P-ABC的體積是， ∴0＜V＜，0＜8V＜1 可知α=arcsim（8V） 故構造棱長均為，底面相鄰兩邊夾角為arcsim（8V）的直平行六面體即滿足要求。