Question

【題目】已知a，b，c為△ABC的內角A，B，C的對邊，滿足 = ，函數f（x）=sinωx（ω＞0）在區間[0， ]上單調遞增，在區間[ ，π]上單調遞減．
（1）證明：b+c=2a；
（2）若f（ ）=cos A，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ ，

∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA﹣cosBsinA﹣cosCsinA

化簡得sin（B+A）+sin（C+A）=2sinA，

由A+B+C=π，則sinC+sinB=2sinA，

由正弦定理得，b+c=2a

（2）解：∵f（x）=sinωx（ω＞0）在[0， ]上遞增，在[ ，π]上遞減，

∴ ，則T= = ，解得ω= ，

則f（x）=sin ，

∴f（ ）=sin（ ）=sin =cos A，則cos A= ，

又b+c=2a，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，

∴a2=（b+c）2﹣3bc，則a2=bc，

聯立b+c=2a得，b=c=a，

∴△ABC是等邊三角形

【解析】（1）根據兩角和的正弦公式、誘導公式化簡已知的式子，由正弦定理可得b+c=2a；（2）根據題意和正弦函數的單調性求出周期，由周期公式求出ω的值，化簡f（ ）=cos A，求出cos A的值，利用條件和余弦定理列出方程，化簡后聯立方程求出a、b、c的關系，可判斷出△ABC的形狀．
【考點精析】掌握余弦定理的定義是解答本題的根本，需要知道余弦定理:;;．